Écriture sous forme trigonométrique

Proposition  

Soit `z \in \mathbb{C}^\ast` .
Si `z=R(\cos\alpha+i\sin\alpha)` avec `R>0` et `\alpha \in \mathbb{R}` , alors \(R=\left\vert z \right\vert\) et `\alpha \equiv \arg(z) \ [2\pi]` ,
autrement dit `z=R(\cos\alpha+i\sin\alpha)` est une forme trigonométrique de `z` .

Démonstration

On a d'abord :
\(\begin{align*} \left\vert z \right\vert = \left\vert R(\cos\alpha+i\sin\alpha) \right\vert = \left\vert R \right\vert \times \left\vert \cos\alpha+i\sin\alpha \right\vert R \times \sqrt{(\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2} \end{align*}\) ,
donc  \(\left\vert z \right\vert = R \times \sqrt{1} = R\) .

On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et `\theta` un argument de `z` , si bien que  `z` a pour forme trigonométrique
\(\begin{align*} z=r(\cos\theta+i\sin\theta). \end{align*}\)

On a alors :
\(\begin{align*} R(\cos\alpha+i\sin\alpha)=r(\cos\theta+i\sin\theta) & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\vert z \right\vert (\cos\alpha+i\sin\alpha)= \left\vert z \right\vert (\cos\theta+i\sin\theta) \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos\alpha+i\sin\alpha=\cos\theta+i\sin\theta \end{align*}\)
car \(z \neq 0\) . Par unicité de la forme algébrique :
\(\begin{align*} \cos\alpha=\cos\theta \ \ \text{et} \ \ \sin\alpha=\sin\theta \end{align*}\)  et donc \(\alpha \equiv \theta \ [2\pi]\) .